फलन f(x) = begin{cases} sgn([x]) & x notin I | vedclass

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Question

(B) आइए विभिन्न अंतरालों के लिए फलन $f(x)$ का विश्लेषण करें।$x 
otin I$ के लिए,$f(x) = sgn([x])$ है।यदि $x \in (0, 1)$ है,तो $[x] = 0$,इसलिए $f(x) =

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प्रत्येक पूर्णांक पर असतत है

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(B) आइए विभिन्न अंतरालों के लिए फलन $f(x)$ का विश्लेषण करें।$x 
otin I$ के लिए,$f(x) = sgn([x])$ है।यदि $x \in (0, 1)$ है,तो $[x] = 0$,इसलिए $f(x) = sgn(0) = 0$ है।यदि $x \in (1, 2)$ है,तो $[x] = 1$,इसलिए $f(x) = sgn(1) = 1$ है।यदि $x \in (-1, 0)$ है,तो $[x] = -1$,इसलिए $f(x) = sgn(-1) = -1$ है।$x \in I$ के लिए,$f(x) = [sgn(x)]$ है।यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = [sgn(0)] = [0] = 0$ है।यदि $x > 0$ और $x \in I$ है,तो $f(x) = [sgn(x)] = [1] = 1$ है।यदि $x इन सबको मिलाने पर,फलन प्रत्येक पूर्णांक $n \in I$ पर असतत है क्योंकि बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा पूर्णांकों पर फलन के मान से मेल नहीं खाती हैं। विशेष रूप से,किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim_{x 	o n^-} f(x) = sgn(n-1)$ और $\lim_{x 	o n^+} f(x) = sgn(n)$ है। ये $f(n) = [sgn(n)]$ के बराबर नहीं हैं। अतः,फलन प्रत्येक पूर्णांक पर असतत है।

फलन $f(x) = \begin{cases} sgn([x]) & x \notin I \\ [sgn(x)] & x \in I \end{cases}$ है (जहाँ $sgn()$ सिग्नम फलन को दर्शाता है और $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है):

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फलन $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{x}$ ($x \neq 0$ के लिए) के $x = 0$ पर संतत होने के लिए $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$,जहाँ $x \neq \frac{\pi}{4}$ और $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x$ के उन मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए फलन $f(x) = \log \left(\frac{x-1}{x+2}\right)$ सतत है।

फलन $f(x) = [x]$,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,किस बिंदु पर सतत है?

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